Question

在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的垂直平分线，交AB于E，交BC延长线于F，交AC于G，交AD于H。

在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的垂直平分线，交AB于E，交BC延长线于F，交AC于G，交AD于H。
（1）找出图中与△GCF相似的一个三角形（除△GCF外），并证明它们相似。
（2）若AC：AB=3：5，求EG：GF的值。

Answer 1

(1). ΔEAF∽ΔGCF.
证明：
∵EF是AD的垂直平分线，
∴ΔFAD中，FA=FD；ΔAEG中，AE=AG；
∴∠AFE=∠CFG；∠AEF=∠AGE=∠CGF；
∴ΔEAF∽ΔGCF.
(2). 解：AC：AB=3：5，
则AB/AC=5/3,
由上面证明得到：
ΔEAF∽ΔGCF,
∴∠BAF=∠ACF；EF/GF=AF/CF；,
又∠AFB=∠CFA,
∴ΔAFB∽ΔCFA,
∴AF/CF=AB/AC=5/3,
,∴EG/GF=(EF-GF)/GF=EF/GF-1=AF/CF-1=5/3-1=2/3.
即EG：GF=2：3。