Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：PA⊥平面PB

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB， 且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB． ∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC． 又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC． （Ⅱ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM． ∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC， 根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角． 设 PA=PB= 6 ，∵PA⊥PB，∴ AB=2 3 ，PO=BO=AO= 3 ． ∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴ OM=AO?sin30°= AO 2 ，∴ tanPMO= PO OM = AO OM =2 ， 即二面角P-AC-B的大小是arctan2． （Ⅲ）在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D， 连接OC，OD，PD． 则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角． ∵AB⊥BC，∠BAC=30°， ∴BC=AB?tan30°=2， OC= O B 2 +B C 2 = 7 ， ∴ PC= P O 2 +C O 2 = 10 ． 易知底面ABCD为矩形，从而OC=OD，PC=PD． 在△PCD中， cosPCD= 1 2 CD PC = 30 10 ， ∴异面直线AB和PC所成角的大小为 arccos 30 10 ．