Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切；（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）设过点P且斜率为 -

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切；（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）设过点P且斜率为 - 3 的直线与曲线M相交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

（1）因为动圆M过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切， 所以由抛物线定义知：圆心M的轨迹是以定点P（1，0）为焦点，定直线l：x=-1为准线的抛物线， 所以圆心M的轨迹方程为y 2 =4x------（4分） （2）由题知，直线AB的方程为 y=- 3 (x-1) ------（5分） 所以 y=- 3 (x-1) y 2 =4x ，可得3x 2 -10x+3=0， ∴ x= 1 3 或x=3． ∴ A( 1 3 ， 2 3 3 )，B(3，-2 3 ) ------（6分）（或用弦长公式或用定义均可）， ∴ |AB|= (3- 1 3 ) 2 +(-2 3 - 2 3 3 ) 2 = 16 3 ---------（8分）