Question

已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q．

已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM是否为定值并利用其中一图证明你的结论．

Answer 1

∠BQM为定值．
理由：如图①，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC
∵BM=CN
∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠BAM=∠CBN（全等三角形的对应角相等），
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
即∠BQM为定值．
图②中：∠BQM=∠ABN+∠BAM
∵△ABM≌△BCN
∴∠BAM=∠CBN
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°
图③中：
∠BQM=∠N+∠NAQ
∵△ABM≌△BCN（ASA），
∴∠N=∠M，且∠NAQ=∠CAM，
又∵∠ACB=∠M+∠CAM=∠N+∠NAQ，
且∠BQM=∠N+∠NAQ，
∴∠BQM=∠ACB=60°．