Question

已知a＞2，b＞1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为______

已知a＞2，b＞1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为______．

Answer 1

∵ab=a+2b+1，
∴a=

2b+1

b?1

=2+

3

b?1

，
∴2a+b=4+

6

b?1

+b=（b-1）+

6

b?1

+5，
∵b＞1，
∴b-1＞0，则（b-1）+

6

b?1

≥2

6

，当且仅当b-1=

6

时取等号，
∴2a+b=（b-1）+

6

b?1

+5≥2

6

+5．
∴2a+b的最小值为2

6

+5．
故答案为：2

6

+5．

Answer 2

∵ab=a+2b+1，
∴a=2b+1b?1=2+3b?1，
∴2a+b=4+6b?1+b=（b-1）+6b?1+5，
∵b＞1，
∴b-1＞0，则（b-1）+6b?1≥26，当且仅当b-1=6时取等号，
∴2a+b=（b-1）+6b?1+5≥26+5．
∴2a+b的最小值为26+5．
故答案为：26+5．
...展开∵ab=a+2b+1，
∴a=2b+1b?1=2+3b?1，
∴2a+b=4+6b?1+b=（b-1）+6b?1+5，
∵b＞1，
∴b-1＞0，则（b-1）+6b?1≥26，当且仅当b-1=6时取等号，
∴2a+b=（b-1）+6b?1+5≥26+5．
∴2a+b的最小值为26+5．
故答案为：26+5．收起