Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(x+12)2（1）求f（1）的值；（2）证明：a＞0、c＞0；（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

Answer 1

（1）由条件可知x≤f(x)≤(

x+1

2

)2对任意实数x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故b＝

1

2

，a+c＝

1

2

，
由对任意实数x，都有f（x）-x≥0得ax²+（b-1）x+c≥0，
所以

a＞0 △＝ (b?1)2  ?4ac≤0

，即

a＞0 △＝   1 4  ?4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

故a＞0，c＞0
（3）由（2）可知f(x)＝

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，g(x)＝

1

4

x2