如图正方形ABCD的边长是a，△AEF是等边三角形，点E在BC上，点F在CD上（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）求等
如图正方形ABCD的边长是a，△AEF是等边三角形，点E在BC上，点F在CD上（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）求等边△AEF的边长．...
如图正方形ABCD的边长是a，△AEF是等边三角形，点E在BC上，点F在CD上（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）求等边△AEF的边长．
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（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=a-x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△EFC中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴a2+x2=2（a-x）2，
∴x=2a±
a，
∵x＜a，
∴x=2a-
a，
∴AE=
=
a．
∴等边△AEF的边长为：
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
|
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=a-x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△EFC中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴a2+x2=2（a-x）2，
∴x=2a±
| 3 |
∵x＜a，
∴x=2a-
| 3 |
∴AE=
| AB2+BE2 |
8?4
|
∴等边△AEF的边长为：
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