Question

已知函数f（x）=log2[1+2x+a?（4x+1）]（1）a=-1时，求函数f（x）定义域；（2）当x∈（-∞，1]时，函数f

已知函数f（x）=log2[1+2x+a?（4x+1）]（1）a=-1时，求函数f（x）定义域；（2）当x∈（-∞，1]时，函数f（x）有意义，求实数a的取值范围；（3）a=-12时，函数y=f（x）的图象与y=x+b（0≤x≤1）无交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）a=-1时，2^x-4^x＞0，2^x（2^x-1）＜0
∴0＜2^x＜1∴x＜0，定义域为（-∞，0），
（2）由题1+2^x+a（4^x+1）＞0对一切x∈（-∞，1]恒成立a＞(?

2x+1

4x+1

)max
令t=2^x+1∈（1，3]
h(t)＝?

t

t2?2t+2

＝?

1

t+ 2 t ?2

在(1，

2

]上单减，在[

2

，3]上单增
∴h(t)max＝max{h(1)，h(3)}＝?

3

5

∴a＞?

3

5

，
（3）a＝?

1

2

时，log2[1+2x?

1

2

(4x+1)]?x＝b(0≤x≤1)log2

? 1 2 ?4x+2x+ 1 2

2x

＝b，
记m＝

? 1 2 ?4x+2x+ 1 2

2x

＝?

1

2

(2x?

1

2x

)+1
令n=2^x∈[1，2]，g(n)＝?

1

2

(n?

1

n

)+1，
在[1，2]上单调递减
∴

1

4

＝g(2)≤g(n)≤g(1)＝1，
∴-2≤log₂g（n）≤0，
∵图象无交点，∴b＜-2或b＞0，