Question

在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，求点C到平面ABD的距离

在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

如图所示，
∵AC⊥底面BCD，∴AC⊥BC．
∵AC=a，∠ABC=30°，
∴BC=

AC

tan30°

=

3

a．
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴BD=CD=

3 a

2

，BD⊥AD．
又AD＝

AC2+CD2

=

a2+( 3 a 2 )2

=

10

2

a．
设点C到平面ABD的距离为h．
∵V_A-BCD=V_C-ABD，
∴

1

3

?S△BCD?AC=

1

3

?S△ABD?h．
∴

1

2

×(

3 a

2

)2?a=

1

2

?

3 a

2

?10a2?h，
∴h=

15

5

a．