Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=S

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3．（1）证明：SA⊥BC；（2）求二面角C-SD-A的余弦值．

Answer 1

（1）证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，
由侧面SBC⊥⊥底面ABCD，
得SO⊥底面ABCD
∵SA=SB，∴AO=BO，
又∠ABC=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，SA⊥BC，
∴由三垂线定理，得SA⊥BC．
（2）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD，
∵SA=SB，∴AO=BO．又∠ABC=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
由（1）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，∴SA⊥AD，
∵AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
∴A（

2

，0，0），S（0，0，1），C（0，-

2

，0），
D（

2

，-2

2

，0），
∴

SC

=（0，-

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