Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1， SB=根号7，∠BAD=120°

E在棱SD上（I）当SE=3ED时．求证：SD⊥平面AEC；（2）当二面角S-AC-E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值
用向量法建立空间直角坐标系来做。谢谢了。

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴∠BAD＋∠ADC＝180°、CD＝AB＝2，又∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°。
由CD＝2、AD＝1、∠ADC＝60°，得：AD⊥AC，而SA⊥平面ABCD。
于是：
以A为原点、AC所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并使点C、D、S依次落在x轴、y轴、z轴的正半轴上。
∵AD＝1，∴点A、D的坐标分别是（0，0，0）、（0，1，0）。
∵AD⊥AC、AD＝1、CD＝2，∴AC＝√3。
∴点C的坐标是（√3，0，0），点B的坐标是（√3，－1，0）。
∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AB，又SB＝√7、AB＝2，
∴由勾股定理，有：SA＝√（SB^2－AB^2）＝√（7－4）＝√3。
∴点S的坐标是（0，0，√3）。

由上述各点坐标，得：
向量SD＝（0，1，－√3）、向量SA＝（0，0，－√3）、向量AC＝（√3，0，0）。
∵SE＝3ED，∴3SE＋SE＝3SE＋3ED＝3SD，∴SE＝（3/4）SD，
∴向量SE＝（3/4）向量SD＝（0，3/4，－3√3/4）。
∴向量AE＝向量SE－向量SA＝（0，3/4，√3/4）。
∴向量SD·向量AE＝0＋1×（3/4）＋（－√3）×（√3/4）＝0，∴向量SD⊥向量AE，∴SD⊥AE。
　向量SD·向量AC＝0＋0＋0＝0，∴向量SD⊥向量AC，∴SD⊥AC。
由SD⊥AE、SD⊥AC、AE∩AC＝A，得：SD⊥平面AEC。

第二个问题：
显然有：AC⊥平面SAD，而AE在平面SAD上，∴AE⊥AC、SA⊥AC，
∴∠SAE是二面角S－AC－E的平面角，∴∠SAE＝30°，∴∠DAE＝60°。
由SA＝√3、AD＝1、SA⊥AD，得：∠ASD＝30°、∠ADE＝60°。
由∠SAE＝∠ASD＝30°，得：SE＝AE。　由∠DAE＝∠ADE＝60°，得：DE＝AE。
∴SE＝DE，∴E是SD的中点，∴向量SE＝（1/2）向量SD＝（0，1/2，－√3/2）。
∴向量AE＝向量SE－向量SA＝（0，1/2，－3√3/2）。

令F（a，b，c）是点A在平面CDE上的射影，得：∠AEF就是AE与平面CDE所成的角。
显然有：向量AF＝（a，b，c）。
∵E是SD的中点，∴向量ED＝向量SE＝（0，1/2，－√3/2）。
由C、D的坐标，得：向量CD＝（－√3，1，0）。

∵F是A在平面CDE上的射影，∴AF⊥CD、AF⊥DE、AF⊥CE。
∴向量AF·向量CD＝0、向量AF·向量ED＝0。
由向量AF·向量CD＝0，得：－√3a＋b＋0＝0，∴b＝√3a。
由向量AF·向量ED＝0，得：0＋（1/2）b－（√3/2）c＝0，∴b＝√3c。
而由b＝√3a、b＝√3c，得：c＝a。
∴点F的坐标可写成（a，√3a，a）。

∵E是SD的中点，∴由中点坐标公式，得：点E的坐标是（0，1/2，√3/2）。
∴向量EF＝（a，√3a－1/2，a－√3/2），向量AF＝（a，√3a，a）。
显然有AF⊥EF，∴向量AF·向量EF＝0，∴a^2＋3a^2－√3a/2＋a^2－√3a/2＝0。

∵∠ADC＝60°，∴CD与平面SAD不垂直，∴由AF⊥CD，得：点F不可能在平面SAD上，
∴a不为0，∴a＋3a－√3/2－√3/2＝0，∴4a＝√3，∴a＝√3/4。
∴√3a－1/2＝3/4－1/2＝1/4、a－√3/2＝√3/4－√3/2＝－√3/4。
∴向量EF＝（√3/4，1/4，－√3/4）。

∴向量AE·向量EF＝0＋1/8＋9/8＝5/4。
　｜向量AE｜＝√（0＋1/4＋27/4）＝√7、｜向量EF｜＝√（3/16＋1/16＋3/16）＝√7/4。
∴cos∠AEF＝向量AE·向量EF/（｜向量AE｜｜向量EF｜）＝（5/4）/［√7×（√7/4）］＝5/7，
∴sin∠AEF＝√［1－（cos∠AEF）^2］＝√（1－25/49）＝2√6/7。
∴AE与平面CDE所成角的正弦值为 2√6/7。