Question

如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高线，（1）若∠ABC=40°∠ACB=80°，求∠DAE的度

如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高线，（1）若∠ABC=40°∠ACB=80°，求∠DAE的度数；（2）若∠ACB﹣∠ABC=m，试求∠DAE的度数（用含m的代数式表示）；（3）若△ABC是钝角三角形，如图2，∠ACB为钝角，（2）中条件不变，试问（2）中的结论还成立吗？请加以推理说明？

Answer 1

解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°， ∴∠BAC=60°． 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=70°， 又∵AD是BC边上的高， ∴∠EAD=20°； （2）∵∠ACB﹣∠ABC=m， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣m﹣2∠C， 而AD为∠BAC的角平分线， ∴∠DAC= ∠BAC=90°﹣ ﹣∠C， 又∵AE⊥BC， ∴∠DAC﹣∠DAE=90°﹣∠C， ∴∠DAE= ． （3）成立． ∵∠ACB﹣∠ABC=m， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣m﹣2∠C， 而AD为∠BAC的角平分线， ∴∠DAC= ∠BAC=90°﹣ ﹣∠C， ∴∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠CAD=90°﹣ ， ∵AE是BC边上的高线， ∴∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠AED= ．