Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3的单调递减区间为(?13，1)，单调递增区间为(?∞，?13)和（1，+∞）．（1）求f

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3的单调递减区间为(?13，1)，单调递增区间为(?∞，?13)和（1，+∞）．（1）求f（x）的解析式；（2）若t∈R，试讨论关于x的方程f（x）=2x2+8x+t的实数根的个数．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax+b
由题设得f'（x）=0的根为x＝?

1

3

或x=1
由此求得a=b=-1
故f（x）=x³-x²-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x²+8x+t）=x³-3x²-9x+3-t
令g'（x）=3x²-6x-9=0，得x=-1或x=3

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

g（x）_极大值=g（-1）=8-t，g（x）_极小值=g（3）=-24-t
∴当8-t＜0，即t＞8时，原方程有一个实数根；
当8-t=0，即t=8时，原方程有两个实数根；
当

8?t＞0 ?24?t＜0

即-24＜t＜8时，原方程有三个实数根；
当-24-t=0，即t=-24时，原方程有两个实数根；
当-24-t＞0，即t＜-24时，原方程有一个实数根．
综上，当t=-24或t=8时，原方程有两个实数根；
当t＜-24或t＞8时，原方程有两个实数根；
当-24＜t＜8时，原方程有三个实数根．