Question

已知直线l1：mx-y=0，l2：x+my-m-2=0（1）求证：直线l2恒过定点，并求定点坐标；（2）求证：对m的任意实

已知直线l1：mx-y=0，l2：x+my-m-2=0（1）求证：直线l2恒过定点，并求定点坐标；（2）求证：对m的任意实数值，l1和l2的交点M总在一个定圆上；（3）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当实数m取值变化时，△MP1P2面积取得最大值时，直线l1的方程．

Answer 1

（1）方程l₂：x+my-m-2=0可化为（x-2）+m（y-1）=0
∵对于任意实数m直线l₂：x+my-m-2=0 恒过定点
∴

x?2＝0 y?1＝0

∴故定点坐标是（2，1）．
（2）由题意可得

mx?y＝0 x+my?m?2＝0

，消去m可得x²+y²-2x-y=0，方程表示圆，即M总在一个定圆上．
（3）由圆C的方程以及直线l₁，l₂的方程可知，直线l₁恒过（0，0）点，
直线l₂恒过（2，1）点，也在圆C上，
故直线l₁，l₂的与圆C的另一个交点P₁（0，0），P₂（2，1），P₁P₂是圆C的直径，
当且仅当圆心C（1，

1

2

）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，
所以

|m? 1 2 |

m2+1

＝

| 1 2 m+1|

m2+1

，所以m=3或m=?

1

3

，
所以直线l₁：3x-y=0或x+3y=0．