Question

高一数学题：已知直线L1：mx-y=0,L2：x+my-m-2=0。 （1）求证：对m属于R，L1与L2的交点P在一个定圆上。

（2）若L1与定圆的另一个交点为P1，L2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时。三角形PP1P2面积的最大值及对应的m。

Answer 1

解：

(1)

如图所示：

l1：mx－y＝0，过定点(0，0)，斜率kl1＝m

l2：x＋my－m－2＝0，斜率kl2＝－1/m

=>m(y－1)＋x－2＝0

令y－1＝0，x－2＝0

得y＝1，x＝2

∴l2过定点(2，1)

∵kl1•kl2＝－1

∴直线l1与直线l2互相垂直

∴直线l1与直线l2的交点必在以(0，0)，(2，1)为一条直径端点的圆上

且圆心(1，1/2)，半径r＝1/2√(2²＋1²)＝√5/2

∴圆的方程为(x－1)²＋(y－1/2)²＝5/4

即x²＋y²－2x－y＝0

(2)

由(1)得：

P1(0，0)，P2(2，1)

当P点在定圆上移动时，△PP1P2的底边P1P2为定值2r

当三角形的高最大时，△PP1P2的面积最大

故S△PP1P2max＝1/2•2r•r＝5/4

又l1与l2的交点为P(  (m＋2)/(m²＋1)，[m(m＋2)]/(m²＋1)  )

且OP与P1P2的夹角是45°

∴|OP|＝√2 r＝√10/2

即[(m＋2)/(m²＋1)]²＋[ [m(m＋2)]/(m²＋1) ]²＝5/2

解得：m＝3或m＝－1/3

故当m＝3或m＝－1/3时，△PP1P2的面积取得最大值5/4

 

追问

顺便问一下你这图是怎么画的，我还有一道题有图不知道怎么弄到网上，如果照相不清楚。。。。