Question

高一数学题（对数型函数） 已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足:1,对任意a,b∈(0,+∞)有f(ab)=f(a)+f(b)

已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足:1,对任意a,b∈(0,+∞)有f(ab)=f(a)+f(b);2,当x>1时f(x)<0;3,f(3)=-1
(1)求f(9)、f(√3)的值;
(2)证明：函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数；
(3)若集合A={(p,q)|f(p²+1)-f(5q)-2>0,p,q∈(0,+∞)}，集合B={(p,q)|f(p/q)+0.5=0,p,q∈(0,+∞)}，试问是否存在p,q的值，使A∩B≠∅.若存在，求出p,q的值；若不存在，说明理由

Answer 1

答：
1）
f(3)=-1，x>1时f(x)<0
f(ab)=f(a)+f(b)
f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2
f(3)=f(√3×√3)=2f(√3)=-1
f(√3)=-1/2
2）
因为：f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以：f(1)=0
设m>n>0，m/n>1，f(m/n)<0
f(m/n)=f(m)+f(1/n)<0
因为：f(1)=f(n)+f(1/n)=0，f(1/n)=-f(n)
所以：f(m)-f(n)<0
所以：f(m)<f(n)
所以：f(x)在x>0时是减函数
3）
集合A，f(p²+1)-f(5q)-2>0
f(p²+1)+f(9)=f(9p²+9)>f(5q)
所以：9<9p²+9<5q
所以：q>(9/5)(p²+1)
集合B，f(p/q)+0.5=0
f(p/q)=-1/2=f(√3)
p/q=√3，p=√3q
点(p,q)在直角坐标系中，则：
集合A为抛物线内部点（y轴右侧）
集合B为射线上点，A∩B≠∅

q=p/√3>(9/5)(p²+1)
9√3(p²+1)<5p
所以：9√3p²-5p+9√3<0
判别式△=(-5)²-4×9√3×9√3<0
上述不等式不成立
所以：不存在p和q满足题意