Question

（2014?河西区三模）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且

（2014?河西区三模）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-BCD的体积．

Answer 1

证明：（1）连接A₁O，
∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，又BC?平面BCD
∴BC⊥A₁O
又BC⊥CO，A₁O∩CO=O，
∴BC⊥平面A₁CD，又A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D

（2）∵ABCD为矩形，∴A₁D⊥A₁B由（Ⅰ）知A₁D⊥BC，A₁B∩BC=B
∴A₁D⊥平面A₁BC，又A₁D?平面A₁BD
∴平面A₁BC⊥平面A₁BD
（3）∵A₁D⊥平面A₁BC，
∴A₁D⊥A₁C．
∵A₁D=6，CD=10，∴A₁C=8，
∴V A1?BCD=V B?A1CD=

1

3

?(

1

2

?6?8)?6=48．
故所求三棱锥A₁-BCD的体积为：48．