Question

如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道

如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不栓接．同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点．（1）已知小球a的质量为m，求小球b的质量；（2）若ma=mb=m，且要求a、b都还能够通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有多大的弹性势能？

Answer 1

（1）根据牛顿第二定律得a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为：
v′_a=

gR

…①
v′_b=

gr

…②
由动量守恒定律mv_a=m_bv_b…③
根据机械能守恒定律得：

1

2

mv

2 a

=

1

2

mv′

2 a

+mg?2R…④

1

2

m_bv

2 b

=

1

2

m_bv′

2 b

++m_bg?2r…⑤
联立①②③④⑤得：

m

mb

=

r R

即：m_b=m

R r

（2）若m_a=m_b=m，由动量守恒定律得：v_a=v_b=v
当b球恰好能通过圆轨道的最高点时，E_弹最小，
根据机械能守恒得：
E_p=[

1

2

m（

gR

）²+mg?2R]×2=5mgR
答：（1）小球b的质量为m

R r

；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都还能够通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有5mgR的弹性势能．