Question

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。（1）试说明四边形AECF是平行四边

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。（1）试说明四边形AECF是平行四边形。（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形。（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形。

Answer 1

证明： （1）在□ABCD中 AD∥BC ∴∠EAC =∠ACF  ∠AEF =∠CFE ∵O是AC的中点 ∴OA=OC ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF 又∵OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形 （2）由（1）可知四边形AECF是平行四边形 ∵ EF⊥AC ∴ 四边形AECF是菱形 （3）当EF = AC时，四边形AECF是矩形。 理由：由（1）可知四边形AECF是平行四边形 ∵EF = AC ∴ 四边形AECF是矩形

（1）根据平行四边形及O是AC的中点，推出△AOE≌△COF，即得OE=OF； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形推出即可； （3）根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．