Question

在△ABC中，三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6．（1）求 BA ? BC 的值；（2）

在△ABC中，三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6．（1）求 BA ? BC 的值；（2）求 ( sin 2 A+C 2 - cos 2 A-C 2 )sin2B cosAcosBcosC 的值．

Answer 1

（1）由于 BA ? BC =| BA |?| BC |?cosB ，…（1分） 由余弦定理可得 cosB= A B 2 +B C 2 -A C 2 2AB?BC = 49+25-36 2×7×5 = 19 35 ，…（3分） ∴ BA ? BC =7×5×cosB=7×5× 19 35 =19 ．…（5分） （2）．∵B为三角形内角，B∈（0，π），sinB＞0， ∴ sinB= 1- cos 2 B = 54×16 35 = 12 6 35 ．…（6分） ∴原式= 2sinBcosB( sin 2 A+C 2 - cos 2 A-C 2 ) cosAcosBcosC = 2sinB cosAcosC ?[ 1-cos(A+C) 2 - 1+cos(A-C) 2 )] = sinB[-cos(A+C)-cos(A-C)] cosAcosC  …（10分） = - sinB(cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC) cosAcosC   =-2sinB=- 24 6 35 ．…（12分）