Question

过抛物线y 2 =4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若 AF =4

过抛物线y 2 =4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若 AF =4 FB ，则斜率k的值为（　　） A．1 B．2 C． 2 3 D． 4 3

Answer 1

∵抛物线 C：y 2 =4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1） 联立方程 y=k(x-1) y 2 =4x 可得k 2 x 2 -2（2+k 2 ）x+k 2 =0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 = 2(2+ k 2 ) k 2 ，y 1 +y 2 =k（x 1 +x 2 -2）= 4 k 2 ?k= 4 k ① ∴ AF =(1- x 1 ，- y 1 ) ， FB =( x 2 -1， y 2 ) ∵ AF =4 FB ， ∴ 1- x 1 =4( x 2 -1) y 1 =-4 y 2 即 x 1 =-4 x 2 +5 y 1 =-4 y 2 ② ①②联立可得， x 2 = 3 k 2 -4 3 k 2 ， y 2 =- 4 3 k 2 ?k=- 4 3k ，代入抛物线方程y 2 =4x可得 16 9 k 2 = 3 k 2 -4 3 k 2 ×4 ∴9k 2 =16 ∵k＞0 ∴k= 4 3 故选D