Question

（2002?湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画

（2002?湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．（1）求证：AE=DF；（2）求证：△AEB∽△DME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H，
∵OB=OM，∴AH=DH．根据垂径定理可知EH=FH，∴AE=DF；

（2）证明：∵BM是圆O的直径，
∴∠BEM=90°，
∴∠AEB+∠DEM=90°，
∴∠AEB=∠DME，
∴△AEB∽△DME；

（3）解：∵△AEB∽△DME，∴

AB

DE

＝

AE

DM

，
∵AB=1，AE=x，∴DE=2-x，
∴DM=x（2-x），y=

1

2

（AB+DM）?AD=-x²+2x+1．
自变量的取值范围是0＜x＜1．