在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AA1=4，AC=3，BC=B1C=5，∠ABB1=60°，D为AB的中点．（Ⅰ）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AA1=4，AC=3，BC=B1C=5，∠ABB1=60°，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：B1D⊥B1C1；（Ⅱ）...
在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AA1=4，AC=3，BC=B1C=5，∠ABB1=60°，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：B1D⊥B1C1；（Ⅱ）求直线AA1与平面CB1D所成角的正弦值．
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证明：（I）∵四边形AA1B1B为菱形，
∴AB=AA1=4，
又∵AC=3，BC=B1C=5，
∴BC2=AB2+AC2，
即AC⊥AB，
连接AB1，
∵∠ABB1=60°，
∴AB1=AB=4，
∴B1C2=AB12+AC2，
即AC⊥AB1，
又∵AB1∩AB=A，AB1，AB?平面AA1B1B，
∴AC⊥平面AA1B1B，
又∵B1D?平面AA1B1B，
∴AC⊥B1D，
又∵D为AB的中点，
∴AB⊥B1D，
又∵AC∩AB=A，AC，AB?平面ABC，
∴B1D⊥平面ABC，
又∵BC?平面ABC，
∴B1D⊥BC，
又∵BC∥B1C1，
∴B1D⊥B1C1；
解：（II）以D为坐标原点建立空间坐标系，
则D（0，0，0），B1（0，2
，0），C（-2，0，3），A（-2，0，0），A1（-4，2
，0），
∴
=（0，2
，0），
=C（-2，0，3），
=（-2，2
，0），
设平面CB1D的一个法向量为
=（x，y，z），
由
∴AB=AA1=4，
又∵AC=3，BC=B1C=5，
∴BC2=AB2+AC2，
即AC⊥AB，
连接AB1，
∵∠ABB1=60°，
∴AB1=AB=4，
∴B1C2=AB12+AC2，
即AC⊥AB1，
又∵AB1∩AB=A，AB1，AB?平面AA1B1B，
∴AC⊥平面AA1B1B，
又∵B1D?平面AA1B1B，
∴AC⊥B1D，
又∵D为AB的中点，
∴AB⊥B1D，
又∵AC∩AB=A，AC，AB?平面ABC，
∴B1D⊥平面ABC，
又∵BC?平面ABC，
∴B1D⊥BC，
又∵BC∥B1C1，
∴B1D⊥B1C1；
解：（II）以D为坐标原点建立空间坐标系，
则D（0，0，0），B1（0，2
| 3 |
| 3 |
∴
| DB1 |
| 3 |
| DC |
| AA1 |
| 3 |
设平面CB1D的一个法向量为
| n |
由
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