Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面AEC；（Ⅱ）求证：BD1⊥平面ACB1

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面AEC；（Ⅱ）求证：BD1⊥平面ACB1．

Answer 1

证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连结EO，
∵EO为△D₁DB的中位线，
∴EO∥BD₁，
又EO?平面AEC，BD₁不包含于平面AEC，
∴BD₁∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中BD⊥AC，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∵DD₁∩DB=D，∴AC⊥平面D₁DB，
且D₁B?平面D₁DB，∴AC⊥BD₁，
同理可证AB₁⊥BD₁，又AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面ACB₁．