Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、AA1的中点，求证：（1）BD1∥平面AEC；（2）平面BD1F∥平

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、AA1的中点，求证：（1）BD1∥平面AEC；（2）平面BD1F∥平面AEC．

Answer 1

证明：（1）连接BD交AC于H，连EH．
因为H为正方形ABCD对角线的交点，
所长H为AC、BD的中点．
在△DD₁B中，E、H分别为DD₁、DB的中点，
所以EH∥D₁B．
又EH?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）因为F、E分别为A₁A、DD₁的中点，所以AF∥ED₁，AF=ED₁，
所以四边形AFD₁E为平行四边形，FD₁∥AE，AE?平面AEC，FD₁?平面AEC，
所以FD₁∥平面AEC，
由（1）知，BD₁∥平面AEC，且BD₁∩FD₁=D₁，
所以平面BD₁F∥平面AEC．