在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证,平面AED垂直平面A1FD1
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解：
连接C1B,B1C,由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以C1B是AP在面BCC1B1上的射影，因为NM是C1B1,C1C的中点，所以MN//B1C,因为B1C和BC1垂直，所以MN和C1B垂直，所以AP⊥MN
。
因为MN//B1C,所以MN//A1D.同理可求出MP//CD1//BA1,因为2个面上有交叉线互相平行，所以两个面互相平行。
连接C1B,B1C,由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以C1B是AP在面BCC1B1上的射影，因为NM是C1B1,C1C的中点，所以MN//B1C,因为B1C和BC1垂直，所以MN和C1B垂直，所以AP⊥MN
。
因为MN//B1C,所以MN//A1D.同理可求出MP//CD1//BA1,因为2个面上有交叉线互相平行，所以两个面互相平行。
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富港检测技术（东莞）有限公司_
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证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A
1
（2，0，2），D
1
（0，0，2），
设平面AED的法向量为
n1
=（x
1
，y
1
，z
1
），
则
n1
•
DA
=（x
1
，y
1
，z
1
）•（2，0，0）=0，
n1
•
DE
=（x
1
，y
1
，z
1
）•（2，2，1）=0，
∴2x
1
=0，2x
1
+2y
1
+z
1
=0．
令y
1
=1，得
n1
=（0，1，-2），
同理可得平面A
1
FD
1
的法向量
n2
=（0，2，1）．
∵
n1
•
n2
=0，∴
n1
⊥
n2
，
∴平面AED⊥平面A
1
FD
1
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A
1
（2，0，2），D
1
（0，0，2），
设平面AED的法向量为
n1
=（x
1
，y
1
，z
1
），
则
n1
•
DA
=（x
1
，y
1
，z
1
）•（2，0，0）=0，
n1
•
DE
=（x
1
，y
1
，z
1
）•（2，2，1）=0，
∴2x
1
=0，2x
1
+2y
1
+z
1
=0．
令y
1
=1，得
n1
=（0，1，-2），
同理可得平面A
1
FD
1
的法向量
n2
=（0，2，1）．
∵
n1
•
n2
=0，∴
n1
⊥
n2
，
∴平面AED⊥平面A
1
FD
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区AB中点G,因为FG//A1B1又因为三角形ABE与三角形AA1G全等
于是<FAB=<AA1G
所以AE垂直A1G而A1G也垂直于AD
所以A1G垂直于平面AED
所以平面AED垂直平面A1FD1
于是<FAB=<AA1G
所以AE垂直A1G而A1G也垂直于AD
所以A1G垂直于平面AED
所以平面AED垂直平面A1FD1
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