Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。求证A1C‖平面BDE，平面AA1C⊥平面BDE

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。求证A1C‖平面BDE，平面AA1C⊥平面BDE
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Answer 1

证明：
连接AC交BD与O点
在三角形AA1C中EO为中位线
所以EO平行AC
又因为EO在面BED内，AC不在面BED内
所以AC平行面BED

BD⊥AC
BD⊥AA1
AC与AA1交与A
所以BD垂直面AA1C
又因为BD在面BED内
所以面BED垂直面AA1C

Answer 2

连结AC交BD于O,连A1C1,B1D1交于O1,连OO1交A1C于F,连EO.
∵正方体AC1,E是AA1的中点,
∴OF=FO1=A1E,OF‖A1E,
∴A1EOF是平行四边形，
∴A1F‖EO,
∴A1C‖平面BDE.
易知BD⊥AC,BD⊥AA1,
∴BD⊥平面AA1C,
∴平面AA1C⊥平面BDE.

Answer 3

解答过程可能不是非常详细，敬请见谅
证明：（1）连接AC，BD,相交于O点，连接OE
因为O、E分别是AC，AA1的中点，则在三角形AA1C中，OE//A1C
又OE在平面BDE中，故A1C‖平面BDE
（2）因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD
又在正方形ABCD中，AC⊥BD
且AC,AA1相交，故BD⊥平面AA1C
又平面BDE 过BD
所以平面AA1C⊥平面BDE