Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD，DE=CE，BE、AC交于F，求证：（1）△BCD为等腰直角

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD，DE=CE，BE、AC交于F，求证：（1）△BCD为等腰直角三角形；（2）△ABC∽△EDB；（3）DF⊥BE．

Answer 1

解答：证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，
∵∠ABC=∠袜逗BAD=90°，
而AB=AD，
∴四边形ABHD为正方形，告银卖
∴∠DBH=45°，
∵BC=2AD，
∴HC=DH，
∴△DHC为等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形；

（2）设AB=a，则BC=2a，HC=a，DC=

2

a，
∴BD=

2

a，
∵DE=CE，
∴DE=

2

2

a，
∴

AB

AE

=

a

2 2 a

=

2

，

BC

BD

=

2a

2 a

=

2

，即

AB

AE

=

BC

BD

，
而∠ABC=∠EDB=90°，
∴△ABC∽搏猛△EDB；

（3）∵△ABC∽△EDB，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴点A、B、F、D四点共圆，
∴∠BAD+∠BFD=180°，
∴∠BFD=90°，
∴DF⊥BE．