Question

◆◆3个初二数学因式分解（有难度）◆◆要详细过程

一 已知 2^48 - 1 可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数。

二 若数a、b、c 满足 a＋18＝b＋14＝c＋35
求a^2 + b^2 ＋ c^2 - ab - bc - ca 的值

三 试证明四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数

今晚23：00 之前答出的才给分
过了关闭问题
我还要复习功课和睡觉
所以快

Answer 1

一 已知 2^48 - 1 可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数。
2^48-1

=(2^24+1)(2^12+1)(2^6+1)(2^3+1)(2^3-1)

=(2^24+1)(2^12+1)*65*9*7

=(2^24+1)(2^12+1)*65*63

所以，这两个整数是63和65。

二 若数a、b、c 满足 a＋18＝b＋14＝c＋35
求a^2 + b^2 ＋ c^2 - ab - bc - ca 的值

a＋18＝b＋14＝c＋35
a-b=-4，b-c=21，a-c=17
a^2 + b^2 ＋ c^2 - ab - bc - ca
=1/2（2a^2 + 2b^2 ＋2 c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ）
=1/2（a-b）^2+1/2(a-c)^2+1/2(b-c)^2
=1/2(16+441+289)
=373

三 试证明四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数

证明：
设这四个连结自然数分别为（n-2）、（n-1）、n、（n+1）
（n-2）*（n-1）*n*（n+1）+1
=（n^2-n)(n^2-n-2)+1
=(n^2-n)^2-2(n^2-n)+1
=(n^2-2n-1)^2
n为自然数，所以n^2-2n-1为自然数，
所以，四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数

Answer 2

1.
2^48 - 1
= (2^24 + 1)(2^24 - 1)
= (2^24 + 1)(2^12 + 1)(2^12 - 1)
= (2^24 + 1)(2^12 + 1)(2^6 + 1)(2^6 - 1)
所以这两个数为：2^6 + 1和2^6 - 1，即65和63

2.
a^2 + b^2 ＋ c^2 - ab - bc - ca
= [(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2)]/2
= [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]/2
= (16 + 21^2 + 17^2)/2
= 373

3.
设x = 2a+1(a为正整数)
则设这四个数为：(x-3)/2,(x-1)/2,(x+1)/2,(x+3)/2
已经说明x为奇数，这样设是为了计算方便

四个相乘：(x^2 - 1)(x^2 - 9)/16
再加上1，继续化简：
(x^4 - 10x^2 + 25)/16
= (x^2-5)^2 / 16
= (4a^2 + 4a - 4)^2 / 16
= (a^2 + a - 1)^2

证毕，结论你再加几句即可

Answer 3

1.解：∵248－1

其中26－1=63 26+1=65

∴所求两个数分别为63,65

2。a^2 + b^2 ＋ c^2 - ab - bc - ca =2（a^2 + b^2 ＋ c^2 - ab - bc - ca ）/2=[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]/2=213
3. 证明：设这四个连续自然数分别为n、n＋1、n＋2、n＋3．那么

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1

＝〔n（n＋3）〕〔（n＋1）（n＋2）〕＋1

＝（n2＋3n）〔（n2＋3n）＋2〕＋1

＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1

＝（n2＋3n＋1）2．

∵n是自然数，

∴n2＋3n＋1是整数．故四个连续自然数的积与1的和，必是某一个整数的平方．