Question

大学物理问一下怎么求薄圆环和圆盘的转动惯量，写一下过程，谢谢！

Answer 1

转动惯量J=Σmiri²

薄圆环的转动惯量直接求：J=mR²

圆盘求解如下：
把圆盘分成许多无限薄的圆环，用ρ表示台的密度，上h表示其厚度，则半径为r，宽为dr的薄圆环的质量为：
dm=ρ·2πrhdr
薄圆环对轴的转动惯量为
dJ=r²dm=2πρhr³dr
对r，从0-R积分得
J=∫2πρhr³dr=2πρh∫r³dr=½πρhR⁴
其中hπR²为台的体积，ρhπR²为台的质量m，故圆盘转动惯量为
J=½mR²

追问

为什么薄圆环的直接求啊？

追答

根据定义。因为薄圆环各质元与中心等距。

Answer 2

转动惯量公式为I=Σmiri²
推导:
对应的I=Σmiri²
质量均匀时，I=∫r²dm
关键 dm=面密度x面积微元

Answer 3

滑轮相当于是有沟槽的圆盘，所以求滑轮的转动惯量就相当于求圆盘的转动惯量。
以下是圆盘转动惯量的推导☞
设距离中心转轴的半径为r，宽为dr的薄圆环，质量为dm.
设圆盘的半径为R，质量为M
则圆盘的质量面密度为a=M/πR²
及求圆盘的转动惯量，可以看成是很多个圆环转动惯量的积分。如下
dm=2πr dr a
对r，从0-R积分得
J=∫r²dm=∫r²a2πrdr =½mR²
所以圆盘转动惯量为
½mR²