1、极坐标方程
水平方向：ρ=a(1-cosθ)或 ρ=a(1+cosθ)(a>0)
垂直方向：ρ=a(1-sinθ)或 ρ=a(1+sinθ)(a>0)
2、直角坐标方程
心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为
x＾2＋y＾2＋a＊x
＝a＊sqrt（x＾2＋y＾2）和x＾2＋y＾2－a＊x
＝a＊sqrt（x＾2＋y＾2）
3、参数方程
pi或0＊pi
x＝a＊（2＊cos（t）－cos（2＊t））
y＝a＊（2＊sin（t）－sin（2＊t））
所围面积为3／2＊PI＊a＾2，形成的弧长为8a
所围面积的求法：以ρ＝a（1＋cosθ）为例
令面积元为dA，则
dA＝1／2＊a∧2＊（1＋cosθ）∧2＊dθ
运用积分法上半轴的面积得
A＝∫（π→0）1／2＊a∧2＊（1＋cosθ）∧2＊dθ＝3／4＊a∧2＊π
所以整个心形线所围成的面积S＝2A＝3／2＊a∧2＊π。
扩展资料
举例：
1、设心形线的极坐标方程为ρ＝a（1－cosθ），则心形线的周长为C＝8a。推导过程为
C＝∫（r＾2＋r＇＾2）＾（1／2）dθ其中，r＇表示r的导数，积分上限2π，下限为0
C＝∫｛［a（1＋cosθ）］＾2＋（asinθ）＾2｝＾（1／2）dθ
a＊∫［2＋2cosθ）＾（1／2）dθ
2a＊∫｜cos（θ／2）｜dθ＝2a＊［∫cos（θ／2）dθ（上限为π，下限为0）＋∫－cos（θ／2）dθ（下限为π，上限为2π）］8a
2、心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为x＾2＋y＾2＋a＊x＝a＊sqrt（x＾2＋y＾2）和x＾2＋y＾2－a＊x＝a＊sqrt（x＾2＋y＾2）
心形线的极坐标方程为：
水平方向：ρ=a(1-cosθ)或 ρ=a(1+cosθ)(a>0)
垂直方向：ρ=a(1-sinθ)或 ρ=a(1+sinθ)(a>0)
心形线的参数方程为：
pi或0＊pi
x＝a＊（2＊cos（t）－cos（2＊t））
y＝a＊（2＊sin（t）－sin（2＊t））
所围面积为3／2＊PI＊a＾2，形成的弧长为8a
这个叫做笛卡尔心形线
【极坐标方程】
水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)
【直角坐标方程】
心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）
【参数方程】
x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))
y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))
所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a
