一个函数不连续就一定不可导，为什么
证明过程：
x=x0点的导数：lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
若函数在x0点可导，极限必须存在，设极限为a
即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a
f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=0*A=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数，所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
lim（x→x0）f（x）=f（x0），所以连续。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。
扩展资料：
实值连续函数：
最基本也是最常见的连续函数是定义域为实数集的某个子集、取值也是实数的连续函数。例如前面提到的花的高度，就是属于这一类型。
这类函数的连续性可以用直角坐标系中的图像来表示。一个这样的函数是连续的，如果粗略地说，它的图像为一个单一的不破的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的振荡。
严格来说，设f是一个从实数集的子集I包含于R射到J包含于R的函数f:I指向J。f 在I 中的某个点 c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
1. f在点 c上有定义。
2. c是 I中的一个聚点，并且无论自变量 x在 I中以什么方式接近 c，f(x) 的极限都存在且等于 f(c)。
我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的称为连续，如果它在其定义域中的任意一点处都连续。
更一般地，当一个函数在定义域中的某个子集的每一点处都连续时，就说这个函数在这个子集上是连续的。等于函数值，所以在x0点处连续。
参考资料：百度百科-连续
x=x0点的导数：lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
若函数在x0点可导，极限必须存在，设极限为a
即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a
f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=0*A=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数，所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
lim（x→x0）f（x）=f（x0）
f（x）在x0点处极限值等于函数值，所以在x0点处连续。
扩展资料
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导定义：
（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
（2）若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数。
如果一个函数在定义域中的某个点f(c) 可微，则它一定在点c 连续。反过来不成立；连续的函数不一定可微。例如，绝对值函数在点c=0 连续，但不可微。
参考资料百度百科-可导
x=x0点的导数的定义公式
lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
如果函数在x0点可导，那么这个极限必须存在，即等于一个有限常数，设为a
即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a
而f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]
=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=0*A=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]
=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数（函数式在任何一点上的函数值都是常数）
所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]
=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
lim（x→x0）f（x）=f（x0）
f（x）在x0点处极限值等于函数值，所以在x0点处连续。
这是函数的导数定义公式确定的。
简单分析一下，详情如图所示
函数不连续也可以可导的。
