Question

求通解步骤

Answer 1

注意：
两边同时除以x
y'-y/x=1/lnx
lnxy'-(lnx/x)y=1
y'lnx-ylnx(lnx)'=1
齐次式：
y'lnx-ylnx(lnx)'=0
y'=y(lnx)'
y'/y=(lnx)'
(lny)'=(lnx)'
lny=lnx+C1=lnC2x
y=C2x
用变系数法求特解：设y=C2(x)x,y'=C2'(x)x+C2(x)
C2'(x)x+C2(x)-C2(x)x/x=1/lnx
C2'(x)x=1/lnx
C2'(x)=1/xlnx
dC2(x)=(1/xlnx)dx=(1/lnx)d(lnx)=dln(lnx)
C2(x)=ln(lnx)+C3
y=xln(lnx)+C3x

验证
y'=ln(lnx)+x/lnx.1/x+C3=ln(lnx)+1/lnx+C3
xy'-y
=xln(lnx)+x/lnx+C3x-xln(lnx)-C3x
=x/lnx
正确！

追问

答案是xln(lnx)+cx

追答

只是常数的字母不同，常数命名字母可以任意定的。在用上面的方法解决微分方程时，常常会有一系列的常数，用C1，C2，C3，...编号，是好习惯。

Answer 2

答：
xy'-y=x/lnx,x>0
两边同除以x²得：
y'/x-y/x²=(lnx)/x
所以：
(y/x)‘=lnx/x
所以：y/x=(lnx)²/2+C
所以：y=x(lnx)²/2+Cx

Answer 3

带入公式吧