高中数学题
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高中数学必做100题—必修部分
（说明：《必修1》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选）
1. 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数的函数值的集合； （2）与的图象的交点集合.
2. 已知集合，，求,,,.（◎P1410）
3. 设全集，，. 求，，，. 由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析. （◎P12例8改编）
4. 设集合，. （◎P14 B4改编）
（1）求，； （2）若，求实数a的值；
（3）若，则的真子集共有 个, 集合P满足条件，写出所有可能的P.
5. 已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证在上递减.
6. 已知函数，求、、的值.（◎P49 B4）
7. 已知函数. （☆P16 8题）
（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.
8.已知函数其中． （◎P84 4）
（1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）求使成立的的集合.
9. 已知函数. （☆P37例2）
（1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.
10. 对于函数.
（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数. （◎P91 B3）
11. （1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P40 8）
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f (x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围. （☆P40 9）
12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元
50
51
52
53
54
55
56
日均销售量/个
48
46
44
42
40
38
36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？（☆P49例1）
13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？ （参考数据：） （☆P44 9）
14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用上述哪个函数模拟较好？说明理由.（☆P51例2）
15. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数的解析式,并画出函数的图象. （◎P126B2）
16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P45例3）
（说明：《必修2》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修2》精选）
1. 在圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P3例3）
2. 如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. （☆P15例2）
3. 直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积. （◎P36 10）
4. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；
（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. （☆P21例3）
5. 如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，
求证：. （◎P63B3）
6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （◎P79B2）
求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心.
7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.（☆P38 9）
8.已知，，，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（◎P90 8）
9. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程. （◎P1009）
10. 三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）. （◎P101 B1）
（1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程；
（3）求BC边的垂直平分线的方程．
11. 在x轴上求一点，使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10.（◎P110 B5）
12. 过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程. （◎P115 B8）
13. 的三个顶点的坐标分别是、、，求它的外接圆的方程. （◎P119例2）
14. 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. （◎P122例5）
15. 过点的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l方程. （◎P127例2）
16. 求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程. （◎P1324）
（说明：《必修3》共精选8题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修3》精选）
1. 设计一个算法求的值，并画出程序框图. （◎P20 2）
2. 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. （☆P15例3）
寿命（h）
100～200
200～300
300～400
400～500
500～600
个 数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例.
3. 甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）： （☆P17例3）
甲：25 41 40 37 22 14 1939 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 4040 16 40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？
4. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料： （☆P22 8）
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）
5. 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.
（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.
6. （2008年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.
7.（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值； （2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y245, z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
8.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图.
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率
（说明：《必修4》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修4》精选）
1. 已知角a的终边经过P(4,-3).
（1）求2sina－cosa的值； （2）求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.
2. 已知，计算： （◎P29 B2）
（1）； （2）； （3）； （4）.
3. 求函数的定义域、周期和单调区间. （◎P44例2）
4. 已知tanα＝，计算： （◎P71 4）
（1）； （2）.
5. 画函数y＝3sin(2x＋)，x∈R简图，并说明此函数图象怎样由变换而来. （☆P15例1）
6. 某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是 （◎P58 4改编）
.
（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当，时，求瞬时电压；
（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光. 取）
7. 平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：（1）的大小； （2）与夹角的大小. （◎P113 4）
8. 已知，，
（1）求与的夹角；（2）若，且，试求.
9. 已知，，求的值. （◎P138 17）
10. 已知，，，，求的值. （◎P146 2）
11. （1）已知，，求的值； （◎P146 7）
（2）已知，，求的值. （◎P147 B2）
12. 已知函数. （◎P147 9）
（1）求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.
13. 已知函数. （◎P147 10）
（1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的集合.
14. 已知函数的最大值为1. （◎P147 12）
（1）求常数a的值； （2）求使成立的x的取值集合.
15.（2009年广东卷.理16）已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值； （2）若，求的值.
16. 已知，且.
（1）求 及； （2）求函数的最小值.
（说明：《必修5》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）
1. 在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C及c. （☆P4 8）
2. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状.（☆P6 3）
3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求C； （2）若，求A． （☆P6 8）
4. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（☆P8 8）
5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过2分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度. （☆P9例2）
6. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. （◎P34B3）
7. 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P44例3）
8.（09年福建卷.文17）等比数列中，已知. （☆P38 8）
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.
9. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P58 2）
10. 已知数列的前项和为，. （☆P32 9）
（1）求 （2）求证：数列是等比数列.
11. 已知不等式的解集为A，不等式的解集是B.（☆P42 9）
（1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.
12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ （◎P81 6）
13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? （◎P93 3）
14. 已知为正数. （☆P52 8）
（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.
15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P99例2）
16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
（说明：《选修1-1》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-1》精选）
1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围. （☆P6 9）
2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.（◎P41例6）
3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程.（◎P68 4）
4. 倾斜角的直线l过抛物线焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长. （◎P61例4）
5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？（◎P68 5）
6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.
8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.
9. 点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60º，
求△F1MF2的面积.
10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （☆P21例4）
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
11. 已知函数（为自然对数的底）.
（1）求函数的单调递增区间； （2）求曲线在点处的切线方程.
12. 设函数.
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值.
13.（06年福建卷）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间. （☆P50 8）
14. 已知a为实数，. （1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是增函数，求a的取值范围. （☆P45例3）
15.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? （☆P47例1）
16.（2006年江西卷）已知函数在与时都取得极值，（☆P49例2）
（1）求a、b的值与函数的单调区间；（2）若对时，不等式恒成立，求c的范围.
（说明：《选修1-2》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-2》精选）
1. 某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．
参考公式：回归直线的方程，其中.
2. 甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.
（1）根据以上数据建立一个的列联表；（2）试判断是否成绩与班级是否有关？ （◎P17练习改编）
参考公式：；
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
3. 已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
4. （1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V= .
（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三侧面两两垂直，则 .”
5. 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知，则.
6．已知，，的等差中项，是的等比中项.
求证：（1）； （2）. （☆P18 9，◎P43例6）
7.（1）已知，，，求z. （◎P65 3）
（2）已知，求z及.（◎P65B1）
8. 已知z是复数，z+2i、均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
9. [理]如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，）．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
10. [理]（07年北京高考.理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
11. [理]数列满足．（为前n项和）
（1）计算，并由此猜想；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．
12. [理]（2007年宁夏、海南.理）设函数．
（1）解不等式； （2）求函数的最小值．
（说明：《必修1》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选）
1. 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数的函数值的集合； （2）与的图象的交点集合.
2. 已知集合，，求,,,.（◎P1410）
3. 设全集，，. 求，，，. 由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析. （◎P12例8改编）
4. 设集合，. （◎P14 B4改编）
（1）求，； （2）若，求实数a的值；
（3）若，则的真子集共有 个, 集合P满足条件，写出所有可能的P.
5. 已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证在上递减.
6. 已知函数，求、、的值.（◎P49 B4）
7. 已知函数. （☆P16 8题）
（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.
8.已知函数其中． （◎P84 4）
（1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）求使成立的的集合.
9. 已知函数. （☆P37例2）
（1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.
10. 对于函数.
（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数. （◎P91 B3）
11. （1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P40 8）
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f (x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围. （☆P40 9）
12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元
50
51
52
53
54
55
56
日均销售量/个
48
46
44
42
40
38
36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？（☆P49例1）
13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？ （参考数据：） （☆P44 9）
14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用上述哪个函数模拟较好？说明理由.（☆P51例2）
15. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数的解析式,并画出函数的图象. （◎P126B2）
16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P45例3）
（说明：《必修2》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修2》精选）
1. 在圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P3例3）
2. 如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. （☆P15例2）
3. 直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积. （◎P36 10）
4. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；
（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. （☆P21例3）
5. 如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，
求证：. （◎P63B3）
6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （◎P79B2）
求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心.
7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.（☆P38 9）
8.已知，，，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（◎P90 8）
9. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程. （◎P1009）
10. 三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）. （◎P101 B1）
（1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程；
（3）求BC边的垂直平分线的方程．
11. 在x轴上求一点，使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10.（◎P110 B5）
12. 过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程. （◎P115 B8）
13. 的三个顶点的坐标分别是、、，求它的外接圆的方程. （◎P119例2）
14. 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. （◎P122例5）
15. 过点的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l方程. （◎P127例2）
16. 求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程. （◎P1324）
（说明：《必修3》共精选8题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修3》精选）
1. 设计一个算法求的值，并画出程序框图. （◎P20 2）
2. 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. （☆P15例3）
寿命（h）
100～200
200～300
300～400
400～500
500～600
个 数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例.
3. 甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）： （☆P17例3）
甲：25 41 40 37 22 14 1939 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 4040 16 40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？
4. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料： （☆P22 8）
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）
5. 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.
（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.
6. （2008年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.
7.（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值； （2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y245, z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
8.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图.
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率
（说明：《必修4》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修4》精选）
1. 已知角a的终边经过P(4,-3).
（1）求2sina－cosa的值； （2）求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.
2. 已知，计算： （◎P29 B2）
（1）； （2）； （3）； （4）.
3. 求函数的定义域、周期和单调区间. （◎P44例2）
4. 已知tanα＝，计算： （◎P71 4）
（1）； （2）.
5. 画函数y＝3sin(2x＋)，x∈R简图，并说明此函数图象怎样由变换而来. （☆P15例1）
6. 某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是 （◎P58 4改编）
.
（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当，时，求瞬时电压；
（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光. 取）
7. 平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：（1）的大小； （2）与夹角的大小. （◎P113 4）
8. 已知，，
（1）求与的夹角；（2）若，且，试求.
9. 已知，，求的值. （◎P138 17）
10. 已知，，，，求的值. （◎P146 2）
11. （1）已知，，求的值； （◎P146 7）
（2）已知，，求的值. （◎P147 B2）
12. 已知函数. （◎P147 9）
（1）求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.
13. 已知函数. （◎P147 10）
（1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的集合.
14. 已知函数的最大值为1. （◎P147 12）
（1）求常数a的值； （2）求使成立的x的取值集合.
15.（2009年广东卷.理16）已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值； （2）若，求的值.
16. 已知，且.
（1）求 及； （2）求函数的最小值.
（说明：《必修5》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）
1. 在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C及c. （☆P4 8）
2. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状.（☆P6 3）
3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求C； （2）若，求A． （☆P6 8）
4. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（☆P8 8）
5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过2分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度. （☆P9例2）
6. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. （◎P34B3）
7. 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P44例3）
8.（09年福建卷.文17）等比数列中，已知. （☆P38 8）
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.
9. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P58 2）
10. 已知数列的前项和为，. （☆P32 9）
（1）求 （2）求证：数列是等比数列.
11. 已知不等式的解集为A，不等式的解集是B.（☆P42 9）
（1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.
12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ （◎P81 6）
13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? （◎P93 3）
14. 已知为正数. （☆P52 8）
（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.
15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P99例2）
16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
（说明：《选修1-1》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-1》精选）
1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围. （☆P6 9）
2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.（◎P41例6）
3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程.（◎P68 4）
4. 倾斜角的直线l过抛物线焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长. （◎P61例4）
5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？（◎P68 5）
6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.
8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.
9. 点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60º，
求△F1MF2的面积.
10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （☆P21例4）
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
11. 已知函数（为自然对数的底）.
（1）求函数的单调递增区间； （2）求曲线在点处的切线方程.
12. 设函数.
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值.
13.（06年福建卷）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间. （☆P50 8）
14. 已知a为实数，. （1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是增函数，求a的取值范围. （☆P45例3）
15.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? （☆P47例1）
16.（2006年江西卷）已知函数在与时都取得极值，（☆P49例2）
（1）求a、b的值与函数的单调区间；（2）若对时，不等式恒成立，求c的范围.
（说明：《选修1-2》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-2》精选）
1. 某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．
参考公式：回归直线的方程，其中.
2. 甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.
（1）根据以上数据建立一个的列联表；（2）试判断是否成绩与班级是否有关？ （◎P17练习改编）
参考公式：；
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
3. 已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
4. （1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V= .
（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三侧面两两垂直，则 .”
5. 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知，则.
6．已知，，的等差中项，是的等比中项.
求证：（1）； （2）. （☆P18 9，◎P43例6）
7.（1）已知，，，求z. （◎P65 3）
（2）已知，求z及.（◎P65B1）
8. 已知z是复数，z+2i、均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
9. [理]如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，）．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
10. [理]（07年北京高考.理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
11. [理]数列满足．（为前n项和）
（1）计算，并由此猜想；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．
12. [理]（2007年宁夏、海南.理）设函数．
（1）解不等式； （2）求函数的最小值．
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