Question

用定义证明limx→3 (x-3)/x=0

Answer 1

证明：首先限定│x-3│<1，即2<x<4。对任意ε>0，解不等式。

│(x-3)/x│<│x-3│/2<ε。

得│x-3│<2ε，取δ≤min{2ε,1}。

于是，对任意ε>0，总存在正数δ≤min{2ε,1}，当0<│x-3│<δ时，有│(x-3)/x│<ε。

即lim(x->3)[(x-3)/x]=0。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

Answer 2

追问

书上都用到了这个δ符号，就是写成0<|x-3|<δ的样子，可是如果令那个3/(1+ε)=δ的话左边就不是3/(1-ε)了

我好混乱

求解答😳

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