Question

n元齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是什么

Answer 1

只有零解时，R(A)=n

特别当A是方阵时 |A|≠0。

有非零解时，R(A)<n

特别当A是方阵时 |A|=0。

如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

扩展资料

齐次线性方程组的性质

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

4、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

5、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

Answer 2

有非零解 ,也就是R(A)小于N.
1. 那么方程的个数要小于未知数的个数（直观上看这个方程组是扁而长,）
2.等价于A的列向量线性相关
（对系数矩阵A做列分块可得向量形式：a1x1+a2x2+~~~+anxn=0）
3.一旦R（a）小于N成立,那么系数矩阵的行列式肯定为0（这个条件不是很完美,因为行列式求值要求N行N列,方程组不一定以这种形式出现,最重要的就是把握系数矩阵的秩,
非零秩小于N,
零 秩等于N.
一般也就这三条
拓展的话,再加上对系数矩阵的研究,
比如特征值 特征值的乘积为行列式的值,咱们假如他就是N行N列的系数矩阵,
那么就有A的特征值里面必有0.
再进一步找特殊,
咱们假如系数矩阵的秩为1,我们又能得到系数矩阵的主对角线元素和为1 .
（迹的概念 矩阵相似那一块提到的）.