Question

怎么证明数列极限存在，是既有上界又有下界吗？还是看单调性？求极限值是写上下界值还是写单个界值？

Answer 1

证明思路：证明其有下界，是一个存在性问题，只要能找到一个即可；证明它无上界应使用反证法。
符号说明：数列{n}中的第n项表示为a(n)=n。
证明：

1）证明数列{n}有下界。
取 Bd=0, 则 这个数列中的任意项a(n)=n>= Bd, 从而 数列{n}有下界；
2）证明数列{n}无上界。
假设数列{n}存在上界，设Bu=M>0为它的一个上界，则根据上界的定义，有对任意n，a(n)<=M。取L=[M]为不超过M的最大整数，其中[ ]为取整函数，则L+1是正整数（从而是数列{n}中的项），我们有a(L+1)=L+1>M，这与任意a(n)<=M矛盾。证毕。

Answer 2

有界和单调有其中之一都不行，有界+单调时有极限
有界比如交错级数1，-1,1，-1有界但没有极限
单调不用说了极限是无穷
有界+单调时有极限，极限存在时不一定是有界+单调