Question

数列有极限一定有界吗?

Answer 1

数列肯定有下界，上面你所说的数列是有极限的，也就是说数列是收敛的，因此它的上界是n趋于无穷大时的极限，很显然，它的极限是0，因此，它的上界也就是0，所以该数列的上界与下界都存在，再取上界与下界两个值中的最大者就是数列的界了。

有界和有极限是2个概念，有界的数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界，假设存在定值a，任意n有an=b，称数列an有下界b。

如果同时存在a，b，是的数列an的值在区间［a，b］内，数列数列有界，有界的数列不一定有极限，比如an=sinn，an在［-1，1］之间，但是an是一个震荡数列。

有极限的数列是指当n趋向无穷大时，an趋向于一个定值，（注意是“一个”定值，不能是2个，这个可以作为证明一个数列没有极限的反证），所以有极限的数列一定是有界的。