Question

数列极限存在是数列有界的什么条件？

Answer 1

必要条件。要是无界，肯定不存在一个有限稳定极限。但是有界也未必极限存在，有可能不断震荡。

有界数列指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。

注意

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M（其中M是与n无关的常数） 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。

Answer 2

极限存在，则数列有界；
数列有界，但未必有极限。
因此极限存在是数列有界的充分不必要条件。

追问

有界推不出极限，可以举个栗子吗

追答

an = （-1）^ n ，摆动数列无极限 。

追问

谢谢！