Question

如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D. BD交⊙O于点C，OC平分∠

如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D. BD交⊙O于点C，OC平分∠如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D. BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.
（1）求∠AOB的度数；
（2）当⊙O的半径为2㎝时，求CD的长.

Answer 1

• 【分析】

(1)由AM 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OA 与AM 垂直，再由BD 与AM 垂直，得到OA 与BD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OC 为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；

(2)过点O 作OE ⊥BD 于点E ，进而得出四边形OADE 是矩形，得出DC 的长即可．

解：

（1）∵AM 为圆O 的切线，

∴OA ⊥AM ，

∵BD ⊥AM ，

∴∠OAD=∠BDM=90°，

∴OA ∥BD ，

∴∠AOC=∠OCB ，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB ，

∵OC 平分∠AOB ，

∴∠AOC=∠BOC ，

∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，

∴∠AOB=120°；

（2）过点O 作OE ⊥BD 于点E ，

∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，

∴△OBC 是等边三角形，

∴BE=EC=1，

∵∠OED=∠EDA=∠OAD=90°，

∴四边形OADE 是矩形，

∴DE=OA=2，

∴EC=DC=1．

追问

第二问有没有更好的方法？

Answer 2

∵AM为圆O的切线，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴∠OAD=∠BDM=90°，
∴OA∥BD，
∴∠AOC=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°

追问

求第二问。