Question

高中数学 立体几何

Answer 1

关于“三垂线定理及其逆定理”很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。在数学2“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，但在选修2-1“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。按照这种提法，教材中必须明确提出“三垂线定理”，学生应该知道这个定理。至于放在《数学2》中，还是放在《选修2-1》中，则是另外一个问题。实际上，考虑到目前“点、直线、平面之间的位置关系”一章仅有10课时，而且直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理仅仅要求归纳得出，在《数学2》中没有严格的证明。我们认为，“三垂线定理”放在《选修2-1》中比较合适，而且只要求了解其内容，并用向量方法证明，不要求运用此定理证明有关的命题。有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线在平面内的射影的位置互换了一下。在教材实验过程中，教师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。一方面是它在过去整个高中“立体几何”中的地位和作用；另一方面，它也是过去高考的核心内容，目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，都是关于“三垂线定理及其逆定理”的。但是，随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。高中数学新课程中强调用空间向量及其运算处理立体几何中的角度、距离，淡化综合方法处理角度问题和距离问题。三垂线定理是高中立体几何中解决线线垂直、线面垂直的重要工具,为找二面角及相关证明带来很多方便。主要对三垂线定理进行深入的剖析并对其在实际解题中的应用做相关的分析与拓展。1准备知识定理1:如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。定理2:如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。定理3:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。定理4:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。定理5:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。定义1:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。定义2:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行。2三垂线定理(三垂线定理)在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。分析:首先可以看出三垂线定理的条件有两个1)在平面内的一条直线a;2)a和斜线PA的射影OA垂直;结论:a和PA垂直。不难看到三垂线定理其实质是线面垂直判定定理的一个推广:,。又OA,OPOA=O,平面OAP。所以在做题时不必死板的去寻找所谓的斜线、垂线和射影,而应从宏观上把握线面垂直的判定定理。(三垂线定理的逆定理)在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。分析:我们也不难看出三垂线定理和平面与平面垂直紧密联系着,因平面与平面垂直的判定定理是:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直,因此我们在证明面面垂直时,也要时刻与三垂线定理挂起钩来。3三垂线定理在解题中的应用例1:四棱锥P-ABCD的底是正方形,PA平面ABCD,PA=AD=3,E为PA上的点,且,(),Q为PD上的点,且DQ=QP。(>0)

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