Question

对任意实数a.b.c.d试用向量的方法证明不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

详细点

Answer 1

向量形式的证明

令m＝(a1, a2, …, an)，n＝(b1, b2, …, bn)
m·n＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|m||n|cos<m, n>＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) ×cos<m, n>
∵cos<m, n>≤1
∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
注：“√”表示平方根。
注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。