高中数学 图中第16题
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∵b、c是正数,∴b+c≧2√(bc),∴bc/(b+c)^2≦1/4。
又a(a+b+c)=bc,∴bc/(b+c)^2=[a/(b+c)][a/(b+c)+1],
∴[a/(b+c)][a/(b+c)+1]≦1/4,
∴[a/(b+c)]^2+[a/(b+c)]+1/4≦1/2,
∴[a/(b+c)+1/2]^2≦1/2,∴a/(b+c)+1/2≦√2/2,∴a/(b+c)≦(√2-1)/2。
∴[a/(b+c)]的最大值是(√2-1)/2。
又a(a+b+c)=bc,∴bc/(b+c)^2=[a/(b+c)][a/(b+c)+1],
∴[a/(b+c)][a/(b+c)+1]≦1/4,
∴[a/(b+c)]^2+[a/(b+c)]+1/4≦1/2,
∴[a/(b+c)+1/2]^2≦1/2,∴a/(b+c)+1/2≦√2/2,∴a/(b+c)≦(√2-1)/2。
∴[a/(b+c)]的最大值是(√2-1)/2。
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