Question

设T是n维线性空间V上的线性变换，如果T^（n－1）ξ≠0，但T^nξ=0，求证：ξ，Tξ

设T是n维线性空间V上的线性变换，如果T^（n－1）ξ≠0，但T^nξ=0，求证：ξ，Tξ设T是n维线性空间V上的线性变换，如果T^（n－1）ξ≠0，但T^nξ=0，求证：ξ，Tξ，T^2ξ…T^（n－1）ξ（n＞0）线性无关，并求证在基底ξ，Tξ，T^2ξ…T^（n－1）下的矩阵。

Answer 1

设线性组合：k1ξ+k2Tξ+k3T^2ξ+...+knT^(n-1)ξ=0
左乘T^(n-1)就得：k1=0，所以有：k2Tξ+k3T^2ξ+...+knT^(n-1)ξ=0
再左乘T^(n-2)又得：k2=0，剩下：k3T^2ξ+...+knT^(n-1)ξ=0
同理可证：k3=k4=...=kn=0
这就表明：ξ，Tξ，T^2ξ…T^（n－1）ξ线性无关
T在基底ξ，Tξ，T^2ξ…T^（n－1）下的矩阵是：
0　　　0　　　0　　　...　　　0　　　0
1　　　0　　　0　　　...　　　0　　　0
0　　　1　　　0　　　...　　　0　　　0
...
0　　　0　　　0　　　...　　　0　　　0
0　　　0　　　0　　　...　　　1　　　0