Question

此三角公式是如何证明的？

Answer 1

利用欧拉公式推导的.
∑(k=1→m)coskx=那一串
由欧拉公式,e^(ix)=cosx+isinx,得

e^(ix)+e^(2ix)+...+e^(mix)
=cosx+cos2x+...+cosmx+isinx+isin2x+...+isinmx
而左边是首项和公比均为e^(ix)的等比数列前m项和,其实部恰好就是所要求证的等式左边,故
左边=e^(ix)*[1-e^(mix)]/[1-e^(ix)]
=[cosx+isinx-cos(m+1)x-isin(m+1)x]/[1-cosx-isinx]
利用复数除法法则,(a+bi)/(c+di)的实部为(ac+bd)/(c²+d²)

这里a=cosx-cos(m+1)x,b=sinx-sin(m+1)x,c=1-cosx,d=sinx
自己代进去硬算吧