Question

函数f(x)=ax^3+bx^2-3x在区间(0,1)内取得极小值,在区间(1,2)内可取到极大值

求u=a^2+b^2的取值范围.请教高人

Answer 1

三次函数f(x)=ax^3+bx^2-3x图象过原点
其导函数是二次函数
y’(x)=3ax^2+2bx-3图象是抛物线
开口向下a<0,其零点是f(x)的极值点
方程y’(x)=0一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上
y’(0)<0 and y’(1)>0 and y’(2)<0
-3<0 and 3a+2b-3>0 and 12a+4b-3<0
即3a+2b-3>0 and 12a+4b-3<0
问题转化为求可行域3a+2b-3>0 and 12a+4b-3<0上的点（a,b）
到原点的距离的平方u=a^2+b^2的取值范围
因为可行域中只有点（-1/2,9/4）距原点最近
u>=(-1/2)^2+(9/4)^2=85/16