Question

“根号2是无理数”怎么证明（用反证法证）

Answer 1

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:
根号2=p/q
于是
p=(根号2)q
两边平方得
p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。

Answer 2

假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n（m,n都是正整数，且m,n互质，如果不互质，那么我们还可以约分，就没有意义了）
根号2=m/n
两边平方化简
得
2n^2=m^2
于是m一定要是偶数，可以设m=2s
其中s是正整数
那么2n^2=4s^2
化简n^2=2s^2
于是n也一定要是偶数，于是
m
n
都是偶数
这就和假设m
n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数