首先，补充一下题目，O为圆心（以下解题思路都是需要O为圆心这个条件）
先连接OP，然后过P分别做AO，CO的垂线，分别交AO于M,CO与N
这时你会发现四边形OCPA被分为2个三角形，AOP和COP，
S三角形AOP=AO*PM*1/2=5*PM*1/2
S三角形COP=CO*PN*1/2=5*PN*1/2
S四边形OCPA=5*1/2*（PM+PN）
为方便计算设 PM=x，PN=y
因为AB垂直CD，PM垂直AB，PN垂直PN，所以四边形PMON是长方形，所以MO=PN=y
因为PO=5，所以x^2+y^2=25
因为AO=5，MO=y，所以AM=（5-y）
因为AP=4，所以通过直角三角形APM可以得到 x^2+(5-y)^2=16
结合上面的式子x^2+y^2=25，可以计算出y=3.4=17/5
同样可以推算出x=5分之4根号21=(4/5)*(21^(1/2)) （这里只是表述方式的问题21的1/2次就是根号21）
根据S四边形OCPA=5*1/2*（PM+PN）=5*1/2*（(4/5)*(21^(1/2))+17/5）=2*(21^(1/2)）+17/2
首先，要了解两个内容：
1、相似三角形的判定定理：两角对应相等，两个三角形相似。
2、相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
解题示意图
过P点向OA做垂直辅助线，两个直角三角形△APE和△APB共用∠A;
利用三角形相似的判定定理，可推出△APE≌△APB；
由此可推出：AP/AE=AB/AP=PB/PE
由半径为5，AB=10 ;
再由AP=4，可得出AE=1.6 ，PE=3.7
由矩形OEPF，可得出OE=PF=5-1.6=3.4
所以四边形OAPC的面积=△OAP的面积+△OPC的面积=35.5
做辅助线，PE⊥AB交AB于点E，利用三角形相似求得AE、OE、PE的值，把四边形OCPA拆分成一个梯形PEOC和一个直角三角形APE，再进行面积计算，具体过程如下图所示。
首先，我们可以得出 OC 的长度为半径的长度，即 OC = 5。
接下来，我们需要确定 CP 的长度。根据圆的性质，半径 OC 和弦 AB 垂直，所以弦的中点 P 位于半径 OC 上。
由于 AP = 4，所以 PC = OC - AP = 5 - 4 = 1。
现在，我们可以计算四边形 OCPA 的面积。它可以分为两个三角形，即三角形 OCP 和三角形 OPA。
首先，计算三角形 OCP 的面积。由于 OC = 5，PC = 1，三角形 OCP 的底边长度为 5，高度为 1。因此，三角形 OCP 的面积为 (1/2) * 5 * 1 = 2.5。
接下来，计算三角形 OPA 的面积。由于 OC = 5，AP = 4，三角形 OPA 的底边长度为 5，高度为 4。因此，三角形 OPA 的面积为 (1/2) * 5 * 4 = 10。
最后，将两个三角形的面积相加，得到四边形 OCPA 的面积：
面积 = 2.5 + 10 = 12.5
因此，四边形 OCPA 的面积为 12.5 平方单位。
由于画图麻烦，所以只能文字描述了。
第一步：连接op连点，那么四边形OCPA的面积就等于三角形AOP和三角形COP面积之和。
第二步：在三角形AOP之中，AO=PO=r=5，AP=4,用三角函数就可以求出 角AOP的正弦值和余弦值，就可以求出三角形AOP的面积了，AO*OP*sin角aop* 1/2，
同理可以求出三角形COP的面积，
所以就可求出四边形的面积了！
