Question

一道高一数学题，【急】！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

如果14个不同的素数能够成为某等差数列的相继14项，求证其公差d>30000

Answer 1

呵呵，这个奥赛题很经典，解答如下:
设首项为a，公差为d,这里a,d都是正整数,（d>0是由于素数两两不同）
则这个数列中数依次为a,a+d,a+2d...a+13d，
显然a不为1（因为a为素数），
再证明a>13,否则a<=13，则a+ad在这个数列中且被a整除且a+ad>a故a+ad为合数，与题设矛盾。
最后证明d要被2,3,5,7,11,13中所有数整除，否则假设d不被m整除,这里m为2，3，5，7，11，13中某个数，则考虑d,2d...,md这m个整数，他们除以m的余数一定为0,1,..,m-1的一个排列（就是说他们的余数一定将0，1...,m-1全部取到，且每个仅取一次），那么一定存在rd(其中r为1，2...,m-1中的某个数）使得a+rd除以m的余数为0,但显然a+rd>a>13>=m故a+rd为合数，与题设矛盾，故假设不成立，所以d被2，3，5，7，11，13整除，故设d=2*3*5*7*11*13*p其中p为正整数，故d>=2*3*5*7*11*13=30030>30000,
证毕。

Answer 2

你要验证2,3,5,7,11,13这6个数都能整除公差d
首先验证d能被2整除：否则d就是奇数，这样2d就是偶数，因此无论a1是奇数还是偶数，a1+d,a1+2d中必有一个偶数，就不是素数，矛盾。所以d能被2整除。
验证3，5，7，11，13也是一样的，比如验证7.这时a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,a1+4d,a1+5d,a1+6d必有一个能被7整除，这是因为d不能被7整除时0，d,2d,3d,4d,5d,6d这7个数被7除的余数也互不相同（比如d除以7余2，0，d,2d,3d,4d,5d,6d被7的余数分别为0,2,4,6,1,3,5；d被7除余1,3,4,5,6时你自己试着验证一下）
那么，因此无论a1被7除的余数是多少，a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,a1+4d,a1+5d,a1+6d必有一个能被7整除，也就不是素数。
就像你说的，17就不能导出矛盾，因为这时一共14个数中可以都不被17整除，也无法判断它们是否是素数。