Question

参数方程中弧长公式的应用

x的积分区间是（0，a），对应的t的积分区间应该是（π/2，0）才对，为什么图片里用的是（0，π/2）？

Answer 1

x的积分区间是（0，a）没错
你要是弄成了（π/2，0）
上下限反过来，弧长就成了负值了
显然是不可能的
注意这里是对√(x')^2+(y')^2 积分
这一定是大于等于0式子
所以转换为参数方程时，就需要角度从小到大

Answer 2

你给的第2题也是极坐标方程。参数方程是 x=x(t), y=y(t).
(1) 该曲线 0≤θ≤3π， 故
L=∫<0, 3π>√(r^2+r'^2)dθ
= a∫<0, 3π>√{[sin(θ/3)]^6+[cos(θ/3)]^2[(sin(θ/3)]^4}dθ
= a∫<0, 3π>[(sin(θ/3)]^2dθ = a/2∫<0, 3π>[1-(sin(2θ/3)]dθ
= a/2[θ+(3/2)cos(2θ/3]<0, 3π> = 3πa/2.
(2). 曲率 K=|r^2+2r'2-rr'|/(r^2+r'^2)^(3/2),
r=a(1+cosθ), r'=-asinθ, 代入上式得
K=(1/a)|1+2cosθ+(cosθ)^2+2(sinθ)2+sinθ+cosθsinθ|/
[1+2cosθ+(cosθ)^2+2(sinθ)^2]^(3/2)
=(1/a)|2+2cosθ+(sinθ)2+sinθ+(1/2)sin2θ|/[2+2cosθ+(sinθ)^2]^(3/2),
该曲线是心脏线，有尖点，曲率不存在。不知要求那点的曲率？